La sequenza di FIBONACCI
“ De Divina proportione”
nell’ Econometria e Statistica
The
GOLDEN RATIO in Matematica e
Informatica
AUREA
SECTIO in Geometria e Architettura
A cura di Gianni Di Muzio
Premessa e biografia di Fibonacci
Da sempre l’uomo cerca di comprendere le leggi e i principi che governano i fenomeni naturali e le simmetrie che la stessa Natura
mostra……..(…….per fare solo un esempio,basterebbe vedere al microscopio le immagini simmetriche che i
cristalli di ghiaccio formano in tante
combinazioni ).
E’ impossibile sottrarsi alle Leggi naturali o voler modificare i
principi regolatori della Natura : e’ risaputo che
Anche l’ Economia ha le sue
leggi ……..che tendono alle uniformità,piuttosto che a crescite esponenziali……
L’ascesa dei prezzi delle merci in periodi inflazionistici……..trova il
suo punto massimo ,ma non può andare
oltre…..
Le quotazioni delle azioni,che in certi momenti possono raggiungere
valori alti……..poi tornano a scendere……..se non addirittura crollare a prezzi
più bassi di prima…..
Lo stesso vale, nelle fasce temporali considerate,per i tassi, per le
rendite ,per i salari,per i cambi delle monete,per le rate dei mutui,per il
costo dei terreni ,per il valore degli
immobili…….
Nell’ascesa dei prezzi,escluso qualsiasi impennata esponenziale,si
configura,nel lungo periodo,lo stesso trend di crescita dell’economia,che
“deve” crescere,a dimostrazione del benessere che si raggiunge……
L’uniformità,in Natura come in Economia,va intesa come armonia
dell’Universo,nelle sue Leggi ,che a volte emerge da una ricerca scientifica attendibile o
dalla spiegazione matematica e provata
dei fenomeni………
Chi ha studiato con modelli econometrici
questi fatti economici (l’andamento dei
prezzi delle merci,le oscillazioni delle quotazioni di Borsa,ecc.) ,così come
gli scienziati che hanno cercato di
interpretare le leggi, le simmetrie e le
corrispondenze geometriche presenti in
Natura,non hanno potuto fare a
meno di constatare l’incredibile uniformità dei risultati ottenuti con la
successione numerica di Leonardo Fibonacci (matematico nato a Pisa intorno al 1170,che
descrisse “la serie”nel “Liber Abaci”-
1202),e le cui “proprietà”matematiche hanno attribuito a questa prodigiosa
“serie numerica”la definizione di “rapporto aureo”,”proporzione divina”,“numero
aureo”o ”sezione aurea”(in latino “Aurea
sectio” e in inglese
“Golden Ratio”,”Golden Number”…..).
Oggi che si va sviluppando
l’utilizzo dei metodi matematici ed econometrici
nella Finanza e nelle scienze sociali,dalla demografia all’economia,dalle analisi
finanziarie alla risoluzione dei conflitti sociali, sempre più si fa
riferimento alla “serie di Fibonacci”…….
E pensare che…….il “Liber Abaci”,manoscritto
nel 1202 e divulgato ben 5 lustri più tardi come libro,e che tanto successo
aveva avuto fin dalla sua comparsa (……parliamo del Medioevo),con la rivoluzione
della stampa,ad opera del Gutemberg,non risulta tra
le prime opere stampate alla fine del ‘500………mentre miglior sorte in stampa
ebbe la “Summa de Aritmetica,Geometria,proportioni et proportionalità”di Luca Pacioli,che pure tratta della serie di Fibonacci…….
Stupefacente…….ma già le scuole d’Abaco medievali utilizzavano dopo il
1228 la “divina proportione”di Fibonacci
per addottrinare il “mercante”…….dai cambi delle monete ai diversi tipi di
pagamento,dal valore delle merci da permutare in cambio di altre merci alla
ripartizione dei guadagni mercantili derivanti dai commerci marittimi ,fino
alla ripartizione degli utili ottenuti dalle associazioni di persone in affari.
Considerato che Fibonacci è universalmente considerato dagli esperti il
precursore della matematica in Occidente,il lettore che non conosce la “divina proportione”starà pensando di fare due domande : cosa sarà
mai questa serie numerica “magica”……..e quale sarà mai stata l’occasione principale
che ha potuto permettere l’idea nel
1202…….visto che allora si usavano ancora i numeri romani,che mal si prestavano
ai calcoli……..
Ma diciamo subito che la numerazione Araba in Italia è stata introdotta
da Fibonacci……..tanto per
chiarire qual’ è stata a quel tempo l’occasione (una numerazione
divulgata dagli Arabi,ma di origine antichissima dell’INDIA ).
Il padre di Fibonacci era funzionario della Repubblica di Pisa ,doganiere dal 1192 presso
una colonia in Algeria,dove ospitò anche il giovane figlio ventenne Leonardo……..
E’ in Algeria che Leonardo Fibonacci completò
la sua istruzione nella lingua e numerazione araba,approfondendo le sue
conoscenze anche nelle tecniche di calcolo con le cifre indo-arabiche……..
Sarà il “Liber Abaci”a
diffondere ,dopo il 1228 ,le conoscenze aritmetiche e la numerazione araba in tutta
l’Europa Occidentale………eliminando completamente la numerazione latina e
contribuendo non poco allo sviluppo dei traffici mercantili e del commercio
extraeuropeo.
Si può attribuire a Fibonacci anche
l’introduzione nella numerazione araba di un nuovo simbolo : lo zero………
Infatti,nel sistema di numerazione araba il valore delle cifre dipende
dal posto che occupano: “ 0 “ verrebbe immesso nelle posizioni vacanti e per
indicare le decine,le centinaia,le migliaia,ecc………permettendo così tutti i
calcoli.
La serie di Fibonacci
Le successioni numeriche in cui ogni termine è definito come una certa
funzione dei termini precedenti,si
definiscono “successioni ricorrenti”.
La serie numerica di Fibonacci si può definire una successione ricorrente,in cui
ogni termine è la somma dei due termini precedenti (per ogni “n”
maggiore di 2).
Sia x1, x2 ,x3,………xn una
successione numerica.
Un numero “n”
della successione ricorrente di Fibonacci è :
xn = xn-1
+ xn-2 ( per ogni “n” maggiore di 2 )
Poiché per determinare un termine è necessario conoscerne i due
precedenti, x1
e x2 =
1
I termini calcolati in questa successione numerica sono chiamati
“numeri di Fibonacci” (Fibonacci
Series) e godono di notevoli proprietà e applicazioni……..
Passando ai calcoli,con i numeri arabi:
Primo termine = 1
Secondo termine = 1
Terzo termine = 2
(1 + 1 )
Quarto termine = 3
(2 + 1)
Quinto termine = 5
( 3 + 2)
Sesto termine = 8 ( 5 + 3)
Settimo termine = 13 ( 8 + 5)
Ottavo termine = 21 ( 13+ 8)
Nono termine = 34
( 21+13)
Decimo termine = 55
( 34 +21)
……………….. = …………….
La ricorsione,nella sequenza dei primi 10 termini:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……………..
e il RETTANGOLO AUREO
La sezione aurea si può rappresentare graficamente da un segmento
diviso in due parti DC e CG,tali che il rapporto DC+CG
e la parte più lunga DC sia uguale al rapporto tra DC e CG.
Come dire che DC è la sezione
aurea di DG.
Per DC e DA
= x , e
CG = 1 , sarà DG =
x+1
Per la proporzione esistente nella sezione aurea sarà:
1 : x =
x : ( x + 1 )
Poiché il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto degli estremi,sarà:
x . x = x +
1
Essendo il rettangolo costruito sul quadrato iniziale,si
può dire anche che il “rapporto aureo” (Golden Ratio in inglese e un modo per
indicarlo in formula è “ Phi ” )è uguale al rapporto
tra il lato maggiore e il lato minore di questo rettangolo:
Phi = DG/DA ; (x+1) / x
La costruzione di un rettangolo simile è dovuta al matematico Leon Battista Alberti (1404-1472),che parte da un quadrato ABCD e con il compasso di apertura EC (dove E segna
il punto medio di AB ) traccia il punto F,che disegna il lato maggiore del
“rettangolo aureo”.
Il matematico Luca Pacioli (1445 ca.-1509)
chiamò tale rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di un rettangolo
così costruito “De Divina Proportione”……….
Orbene,un rettangolo costruito
con due numeri contigui della
successione di Fibonacci ,nel rapporto tra lato
maggiore e lato minore,danno sempre un risultato che tende al Phi=1,618….
Le frazioni 2/1; 3/2 ; 5/3 ; 8/5
; 13/8 ; 21/13 ; 34/21 ;…………………ecc. tendono al risultato 1,618……sempre più preciso con rapporti più
elevati nella successione…….
Poiché la sezione aurea è il segmento medio proporzionale tra la
lunghezza di tutto il segmento e la parte rimanente,vale anche l’inverso nelle
stesse frazioni ………..
Le frazioni 1/2;
2/3; 3/5 ; 5/8 ; 8/13; 13/21; 21/34 ;………………………ecc.che tende a 0,618……sempre più preciso con rapporti
più elevati nella successione di Fibonacci.
Sviluppo con Excel
della “Fibonacci Series”
SOMMA DEI NUMERI DI FIBONACCI
Due numeri successivi di Fibonacci possono
rappresentare i lati di rettangoli all’infinito……..
i cui quadrati costruiti sulle diagonali (….vedi
teorema di Pitagora) sono ancora numeri della “Fibonacci
series”……..
Il noto teorema di Pitagora (…….Pitagora di Samo,570-
“in ogni triangolo rettangolo la somma delle superfici dei quadrati
costruiti sui cateti è equivalente alla superficie
del quadrato costruito sull’ipotenusa”.
SVILUPPO CON EXCEL della “Fibonacci Series”applicata al teorema di Pitagora
Il Pentagono
regolare
Sulla retta “r” si
segna il segmento BC,il suo punto
medio G
e il quadrato ABCD .
Con il compasso su G e
apertura GD ,si traccia un semicerchio che interseca
la retta r
in E .
Con il compasso di apertura BE si tracciano due semicerchi,puntando il
compasso su B e su C e intersezione in F.
Con apertura BC del compasso ,puntando in F,si traccia la porzione di circonferenza
che interseca i precedenti due
semicerchi in A e D.
I punti ABCDF sono i vertici di un pentagono
regolare.
Con il pentagono regolare
così costruito vale la relazione che BC è un “rapporto aureo” di
BC su BE ; BC è parte aurea del segmento BE.
Le diagonali del pentagono
AC,BD,CF,AD
sono uguali tra loro ed hanno come parte aurea il lato BC.
Premesso che BC è parte aurea del segmento BE
BE=BG+GE ; CE=BE-BC
posto BG = x
e CE = 1 ;
BE = 2x+1
Per la proporzione esistente nella
sezione aurea sarà:
(x + x. V5 ) : 2x
= 2x : ( x
.V5 – x)
Sviluppo con Excel della
sequenza di Fibonacci del lato e dell’apotema del
pentagono regolare
Con raggio “n” del cerchio iscritto al pentagono uguale alla “Fibonacci series”
Il rapporto lato/ apotema
tende al numero
irrazionale 0, 726542528
Il rapporto apotema/ lato
tende al numero irrazionale 1, 37638192
|
numerazione |
Fibonacci series |
lato del pentagono regolare |
apotema del pentagono regolare |
Rapporto C/D pentagono |
Rapporto
D/C pentagono |
|
1 |
1 |
con
raggio "n" Fibonacci |
con raggio
"n" di Fibonacci |
Rapporto
lato/apotema |
Rapporto
apotema/lato |
|
1 |
2 |
2,351141009 |
2,618033989 |
0,898055953 |
1,113516364 |
|
2 |
3 |
3,526711514 |
5,236067977 |
0,673541965 |
1,484688486 |
|
3 |
5 |
5,877852523 |
7,854101966 |
0,748379961 |
1,336219637 |
|
4 |
8 |
9,404564037 |
13,09016994 |
0,718444763 |
1,391895456 |
|
5 |
13 |
15,28241656 |
20,94427191 |
0,729670462 |
1,370481679 |
|
6 |
21 |
24,6869806 |
34,03444185 |
0,725352885 |
1,378639308 |
|
7 |
34 |
39,96939716 |
54,97871376 |
0,726997676 |
1,375520215 |
|
8 |
55 |
64,65637775 |
89,01315562 |
0,726368786 |
1,376711141 |
|
9 |
89 |
104,6257749 |
143,9918694 |
0,726608908 |
1,376256181 |
|
10 |
144 |
169,2821527 |
233,005025 |
0,726517176 |
1,37642995 |
|
11 |
233 |
273,9079276 |
376,9968944 |
0,726552212 |
1,376363575 |
|
12 |
377 |
443,1900802 |
610,0019194 |
0,726538829 |
1,376388928 |
|
13 |
610 |
717,0980078 |
986,9988138 |
0,726543941 |
1,376379244 |
|
14 |
987 |
1160,288088 |
1597,000733 |
0,726541988 |
1,376382943 |
|
15 |
1597 |
1877,386096 |
2583,999547 |
0,726542734 |
1,37638153 |
|
16 |
2584 |
3037,674184 |
4181,00028 |
0,726542449 |
1,37638207 |
|
17 |
4181 |
4915,06028 |
6764,999827 |
0,726542558 |
1,376381863 |
|
18 |
6765 |
7952,734464 |
10946,00011 |
0,726542517 |
1,376381942 |
|
19 |
10946 |
12867,79474 |
17710,99993 |
0,726542532 |
1,376381912 |
|
20 |
17711 |
20820,52921 |
28657,00004 |
0,726542526 |
1,376381924 |
|
21 |
28657 |
33688,32395 |
46367,99997 |
0,726542529 |
1,376381919 |
|
22 |
46368 |
54508,85316 |
75025,00002 |
0,726542528 |
1,376381921 |
|
23 |
75025 |
88197,17711 |
121393 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
24 |
121393 |
142706,0303 |
196418 |
0,726542528 |
1,376381921 |
|
25 |
196418 |
230903,2074 |
317811 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
26 |
317811 |
373609,2376 |
514229 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
27 |
514229 |
604512,445 |
832040 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
28 |
832040 |
978121,6826 |
1346269 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
29 |
1346269 |
1582634,128 |
2178309 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
30 |
2178309 |
2560755,81 |
3524578 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
31 |
3524578 |
4143389,938 |
5702887 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
32 |
5702887 |
6704145,748 |
9227465 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
33 |
9227465 |
10847535,69 |
14930352 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
34 |
14930352 |
17551681,43 |
24157817 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
35 |
24157817 |
28399217,12 |
39088169 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
36 |
39088169 |
45950898,56 |
63245986 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
37 |
63245986 |
74350115,68 |
102334155 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
38 |
102334155 |
120301014,2 |
165580141 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
39 |
165580141 |
194651129,9 |
267914296 |
0,726542528 |
1,37638192 |
|
40 |
267914296 |
314952142,9 |
|
|
|
|
41 |
433494437 |
509603272,1 |
|
|
|
|
42 |
701408733 |
|
|
|
|
|
43 |
1134903170 |
|
|
|
|
|
44 |
1836311903 |
|
|
|
|
Sviluppo con excel della
sequenza di Fibonacci del raggio del cerchio iscritto
al pentagono regolare
Di lato “n” della “Fibonacci series”
Il rapporto apotema/ lato tende al numero
irrazionale 1,
453085056
Il rapporto lato/ apotema tende al numero
irrazionale 0,
68819096
|
numerazione |
Fibonacci series |
raggio del cerchio iscritto |
raggio del cerchio iscr. |
rapporto
D/C raggio |
rapporto
C/D raggio |
|
1 |
1 |
pentagono reg.di
lato “ n” |
pentagono reg.apotema
“ n” |
rapporto apotema/lato |
rapporto
lato/apotema |
|
1 |
2 |
1,701301617 |
2,472135955 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
2 |
3 |
2,551952425 |
3,708203933 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
3 |
5 |
4,253254042 |
6,180339888 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
4 |
8 |
6,805206467 |
9,88854382 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
5 |
13 |
11,05846051 |
16,06888371 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
6 |
21 |
17,86366698 |
25,95742753 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
7 |
34 |
28,92212748 |
42,02631124 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
8 |
55 |
46,78579446 |
67,98373876 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
9 |
89 |
75,70792194 |
110,01005 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
10 |
144 |
122,4937164 |
177,9937888 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
11 |
233 |
198,2016383 |
288,0038388 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
12 |
377 |
320,6953547 |
465,9976275 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
13 |
610 |
518,8969931 |
754,0014663 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
14 |
987 |
839,5923478 |
1219,999094 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
15 |
1597 |
1358,489341 |
1974,00056 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
16 |
2584 |
2198,081689 |
3193,999654 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
17 |
4181 |
3556,57103 |
5168,000214 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
18 |
6765 |
5754,652718 |
8361,999868 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
19 |
10946 |
9311,223748 |
13530,00008 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
20 |
17711 |
15065,87647 |
21891,99995 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
21 |
28657 |
24377,10021 |
35422,00003 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
22 |
46368 |
39442,97668 |
57313,99998 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
23 |
75025 |
63820,0769 |
92736,00001 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
24 |
121393 |
103263,0536 |
150050 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
25 |
196418 |
167083,1305 |
242786 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
26 |
317811 |
270346,1841 |
392836 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
27 |
514229 |
437429,3145 |
635622 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
28 |
832040 |
707775,4986 |
1028458 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
29 |
1346269 |
1145204,813 |
1664080 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
30 |
2178309 |
1852980,312 |
2692538 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
31 |
3524578 |
2998185,125 |
4356618 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
32 |
5702887 |
4851165,436 |
7049156 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
33 |
9227465 |
7849350,561 |
11405774 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
34 |
14930352 |
12700516 |
18454930 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
35 |
24157817 |
20549866,56 |
29860704 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
36 |
39088169 |
33250382,56 |
48315634 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
37 |
63245986 |
53800249,12 |
78176338 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
38 |
102334155 |
87050631,67 |
126491972 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
39 |
165580141 |
140850880,8 |
204668310 |
1,453085056 |
0,68819096 |
|
40 |
267914296 |
|
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|
|
|
41 |
433494437 |
|
|
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|
42 |
701408733 |
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43 |
1134903170 |
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44 |
1836311903 |
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In geometria la
costruzione di quadrati e rettangoli con la “Fibonacci
Series” trova riscontro nello sviluppo simmetrico
o
proporzionale (…….divina proportione)
di molti fenomeni naturali,fino alle forme a spirale ,come per le conchiglie e le chiocciole……
Con la sequenza numerica di Fibonacci,iniziamo a costruire due quadrati adiacenti di lato 1,che
formeranno un rettangolo di lato 2.
Il nuovo quadrato formerà un rettangolo 3 x 2,sul
quale si affiancherà in figura un
quadrato di lato 5.
Sul lato maggiore della figura poggerà un quadrato di lato 8, e in
sequenza si formeranno quadrati con i numeri di Fibonacci…..13,21,34,…..
……la spirale di Fibonacci
Se disegnamo un quarto di cerchio in ogni
quadrato di lato 1,2,3.5.8.13……ecc.si avrà graficamente una spirale,che ci ricorda
lo
sviluppo naturale delle spirali di conchiglie,chiocciole,ecc,
………………………..la spirale di una chiocciola………perfezione della Natura…….